멘사셀렉트 블로커스 보드게임의 수학적 원리 분석

블로커스는 수학적 창의적 사고습관을 키워주는 수학적 퍼즐

 

블로커스(Blokus)는 2000년 Bernard Tavitian이 개발한 전략 보드게임으로, 플레이어는 다양한 형태의 테트로미노 조각을 보드판 위에 올리면서 자신의 영역을 상대방보다 더 많이 차지하는 것이 게임의 목표입니다. 단순한 규칙에도 불구하고 수학적 원리와 함께 깊은 전략과 공간적 지각능력이 요구되는 게임입니다. 

테트리스를 연상시키는 폴리오미노 수학보드게임으로 간단한 규칙으로 초등학생부터 성인들까지 함께 즐길 수 있는 2~4인용 교육용 멘사선정 보드게임입니다.  

 

블로커스의 게임 규칙

블로커스는 20×20 형태의 격자가 그려진 정사각형 보드판을 사용하며, 4명의 플레이어가 각각 파란색, 빨간색, 초록색, 노란색의 조각을 사용합니다. 모든 플레이어는 21개의 폴리오미노 조각을 가지고 있으며, 각 조각은 1~5개의 정사각형으로 이루어져 있습니다.

 

같은 색상의 조각은 꼭지점으로만 연결이 되어야 하고, 변과 변이 맞닿으면 안됩니다.

 

1) 첫 번째 조각 배치: 각 플레이어는 보드의 네 개 모서리 중 자신의 색상에 해당하는 모서리에서 게임을 시작합니다. 첫 번째 조각은 반드시 해당 모서리에 놓여야 합니다.
2). 조각 배치 방식:  같은 색상의 조각은 반드시 '꼭짓점'으로만 만나야 하며 변이 직접 맞닿아서는 안 됩니다.
3). 자신의 순서에 올려놓을 조각이 없다면 "통과" 를 선언합니다.

 

모든 플레이어가 더 이상 조각을 놓을 수 없을 때 게임이 종료됩니다. 점수는 남은 조각 수(조각을 구성하는 정사각형의 수)를 계산해서 순위를 정하고 모든 조각을 배치한 플레이어는 추가 보너스를 받습니다.

 

 

블로커스에는 어떤 수학적 원리가 숨어 있을까요?

 

블로커스는 단순한 규칙을 가지고 있지만, 조각을 놓는 방식에 따라 무한한 전략적 가능성이 열려 있습니다. 그렇다면, 이 게임에는 어떤 수학적 원리가 숨어 있을까요?

1). 폴리오미노와 공간 충전 문제

블로커스에서 사용하는 조각들은 폴리오미노(Polyomino)라고 불리는 기하학적 도형의 한 종류입니다. 폴리오미노는 동일한 크기의 정사각형들이 변끼리 연결된 도형으로, 블로커스에서는 단순한 단일 블록부터 최대 5개의 정사각형이 결합된 형태(펜토미노)까지 등장합니다.
폴리오미노를 이용한 공간 채우기는 수학에서 '타일링 문제(Tiling Problem)'로 연구되며, 주어진 공간을 특정한 도형으로 완전히 덮을 수 있는지, 그리고 최적의 배치가 무엇인지 탐구하는 분야입니다. 블로커스에서는 상대방의 배치를 예측하고 자신의 조각을 최적화하는 것이 승리의 핵심 전략이 됩니다.

 

2). 그래프 이론과 연결성

블로커스에서는 조각을 배치할 때 기존에 놓은 자신의 조각과 꼭짓점끼리만 접해야 합니다. 이를 그래프 이론(Graph Theory) 관점에서 보면, 각 조각은 그래프의 노드(Node), 연결 관계는 에지(Edge)로 볼 수 있습니다.
게임 내에서 중요한 전략 중 하나는 연결성을 유지하면서도 상대방의 확장을 방해하는 것입니다. 이 과정은 그래프 이론에서 경로 찾기(Path Finding) 문제와 유사하며, 최적의 경로를 찾거나 상대방의 경로를 차단하는 전술이 필수적입니다.

또한, 블로커스 보드는 격자형 그래프로 볼 수 있으며, 각 조각을 배치하는 과정에서 독립적 연결 그래프 (Connected Component)가 생성됩니다. 이러한 구조를 분석하면, 특정한 위치에 조각을 놓았을 때 이후의 배치 가능성을 평가할 수 있습니다.

 

3). 게임 이론과 최적 전략

블로커스는 결정론적(Deterministic) 전략 게임으로, 확률 요소가 개입되지 않기 때문에 게임 이론(Game Theory)에서 연구되는 "완전 정보 게임(Perfect Information Game)" 의 범주에 속하게 됩니다. 체스 바둑과 마찬가지로 모든 플레이어가 이전 수를 알고 있기에 이후 최적의 수를 계산하는 것이 가능합니다.
게임 이론에서는 최적 전략을 찾는 방법으로 "미니맥스 알고리즘(Minimax Algorithm)" 이 자주 사용됩니다. 블로커스에서도 비슷한 방식으로 상대방의 다음 수를 예측하고 자신의 최적 수를 결정하는 것이 중요합니다. 특정한 상황에서는 "알파-베타 가지치기(Alpha-Beta Pruning)"  기법을 활용해 연산량을 줄이며 최적 전략을 계산할 수도 있습니다.

 

4) 조합론과 최적 배치

블로커스에서 사용할 수 있는 조각의 조합은 제한적이지만, 배치 가능한 경우의 수는 매우 많습니다. 이를 조합론(Combinatorics)적으로 분석하면, 주어진 턴에서 가능한 모든 배치 경우를 계산하고, 그중에서 최적의 선택을 해야 합니다.
각 조각의 회전 및 대칭을 고려한다면 특정한 위치에 배치할 수 있는 경우의 수는 급격히 증가하게 됩니다. 따라서 블로커스에서 높은 수준의 전략을 구사하려면 이러한 조합을 빠르게 계산하고 가장 유리한 선택을 해야 합니다.

 

5). 프랙탈 구조와 패턴 인식

블로커스 게임이 진행됨에 따라 보드 위에 형성되는 패턴은 프랙털(Fractal) 구조와 유사한 모습을 띨 수 있습니다. 초기에는 단순한 형태로 시작하지만, 점차 복잡한 구조가 만들어지면서 특정한 전략에 따라 반복되는 패턴이 나타날 수 있습니다.
패턴 인식은 블로커스 전략에서 중요한 요소 중 하나입니다. 경험 많은 플레이어일수록 특정 패턴을 인식하고 그 패턴을 기반으로 다음 수를 결정하는 능력이 뛰어납니다. 이는 수학에서 "셀룰러 오토마타(Cellular Automata)"와 유사한 개념으로 볼 수도 있습니다.

 

블로커스는 단순한 보드게임처럼 보이지만, 깊이 들어가 보면 수학적적 개념과 이론이 숨어 있는 매우 흥미로운 보드게임이라 할수 있습니다. 폴리오미노와 공간 충전 문제, 그래프 이론, 게임 이론, 조합론, 그리고 패턴 인식까지 다양한 수학적 원리가 게임의 전략과 직접적으로 연결이 됩니다. 
이러한 요소들을 이해하고 활용한다면, 블로커스를 더 깊이 있게 즐길 수 있을 뿐만 아니라, 논리적 사고력과 공간적 사고력을 향상하는 데도 큰 도움이 될 수 있습니다. 블로커스를 단순한 놀이나 게임이 아니라 수학적 사고와 창의적 사고습관을 키워주는 수학퍼즐로 접근해 보는 것은 어떨까요?